Filtri

Cos’è un filtro?

Un filtro è un sistema lineare e tempo invariante che ha una funzione di trasferimento che opera sul segnale d’ingresso.

Cos’è un segnale in banda base?

Un segnale in banda base è un segnale il cui spettro è concentrato intorno all’origine dell’asse frequenziale.

Cos’è un segnale passa-banda?

Un segnale passa-banda è un segnale il cui spettro è concentrato intorno ad una data frequenza fo ed ha contributo trascurabile intorno all’origine.

Cos’è un filtro passa basso ( Low Pass Filter)?

E’ un filtro che consente il passaggio di tutte le frequenze inferiori in modulo ad una certa frequenza di taglio ft, ma lo impedisce a tutte quelle frequenze maggiori di ft (che saranno di conseguenza annullate).

T(f) = K*exp(-j 2 p f rit) se | f | <= ft

0 se | f | > ft

Cos’è un filtro passa alto (High Pass Filter)?

E’ un filtro che consente il passaggio di tutte le frequenze superiori in modulo ad una certa frequenza ft, ma lo impedisce a tutte quelle frequenze inferiori a ft (che saranno di conseguenza annullate).

T(f) = K*exp(-j 2 p f rit) se | f | >= ft

0 se | f | < ft

Cos’è un filtro passa banda (Band Pass Filter) ?

E’ un filtro che consente il passaggio di tutte le frequenze superiori ad una certa frequenza fl (lower frequency) e inferiori ad una frequenza fu (upper frequency) , le frequenze all’esterno di questa banda vengono annullate.

T(f) = K*exp(-j 2 p f rit) se f low <= | f | <= f upper

0 altrimenti

Come si può misurare la larghezza di banda di un filtro?

In termini energetici è possibile definire la banda di un filtro con il metodo della banda a 3 decibel, infatti la larghezza di banda di un filtro si può definire come l’intervallo di frequenze positive entro il quale la funzione di trasferimento |T(f)| non scende di oltre 3 decibel rispetto al suo punto di massimo.

Cosa sono le frequenze di taglio di un filtro?

Le frequenze di taglio di un filtro sono i punti in cui |T(f)| vale tre decibel meno del suo punto di massimo. Esse si divido in frequenza di taglio inferiore e in frequenza di taglio superiore (anche indicate con lower frequency e upper frequency).

Cosa significa ridurre di 3 decibel in termini di guadagno in potenza (ovvero rapporto fra potenze) ?

Nel caso di un segnale in banda base (ovvero di un segnale il cui spettro è concentrato attorno all’origine dell’asse frequenziale)

|T(f)|dB = |T(0)|dB – 3dB =>

poichè il guadagno in potenza è definito come gp = 10^(gdB/10)

N.B. gdB= 10 log 10 gp

Calcolo il quadrato del modulo del mio filtro nel punto 0 dove ho il massimo valore di |T(f)|, infatti si tratta di un segnale in banda base e lo divido per il guadagno in potenza 10^(3 dB/10) ottenendo:

|T(f)|^2 = |T(0)|^2/(10^(3/10)) = (|H(0)|^2)/2

quindi ridurre il guadagno a 3 dB significa dimezzare il guadagno in potenza.

Cosa significa ridurre di 3 decibel in termini di guadagno in ampiezza?

Poichè il guadagno in decibel è uguale a 20 log10ga allora si ha ancora 10 log 10ga^2 quindi

ga= v gp perciò si ha |T(0)|/ v2 una riduzione di 1.41 volte.

A questo punto le frequenze di taglio si misurano nei punti in cui il modulo della funzione di trasferimento vale il 70.7 % del suo massimo, infatti se il valore massimo è uguale a 1 si ha che la coordinata in ordinata della frequenza di taglio dovrà valere 0.707.

Cos’è il filtro di Hilbert o filtro in quadratura?

Il filtro di Hilbert o filtro in quadratura è descritto dalla seguente funzione di trasferimento:

Tq(f) = – j sgn( f ) = -j se f > 0

= j se f < 0

Il modulo è costante e vale 1 su tutta l’asse frequenziale, la fase vale p/2 se f < 0, – p/2 se f > 0.

Se si antitrasforma Tq(f) si trova la risposta all’impulso che vale tq(t) = 1/(pt).

Se t tende a zero, la risposta all’impulso tende all’infinito perciò si tratta di un filtro non causale.

Per filtro non causale si intende un filtro di cui si conosce la sua risposta prima che vi sia introdotto un segnale d’ingresso, in un certo senso sarebbe come conoscere il più lontano futuro quanto più mi avvicino all’istante iniziale del presente infatti è impossibile che io conosca tanto più la risposta all’impulso che è tendente all’infinito quando ancora il segnale di ingresso del filtro è infinitesimo.

Se all’ingresso del filtro di Hilbert viene posto il segnale x(t) = A cos(2pfot+fase) si ha in uscita il segnale x'(t) = Asen(2pfot+fase).

Anche in quest’ultimo caso è evidente il nesso di non causalità infatti vi è un anticipo di segnale tra 0 e p/4.

Quant’ è l’energia di un segnale?

L’energia di un segnale è definita come l’integrale che va da – ¥ a + ¥ della funzione x^2(t) in dt.

Se un segnale ha energia finita allora vale il teorema di Rayleigh : l’integrale che va da – ¥ a + ¥ della funzione x^2(t) in dt è uguale all’integrale che va da – ¥ a + ¥ della funzione | X(f) |^2 in df.

Cos’è la potenza media di un segnale?

La potenza media di un segnale è definita come il limite che tende a + ¥ dell’integrale che ha estremi -To/2 e To/2 della funzione (1/To)* | x(t) |^2 in dt .

Un segnale a energia finita ha potenza media nulla.

I segnali periodici hanno potenza media finita e energia illimitata.

La loro potenza media si può calcolare oltre alla precedente definizione con i coefficienti della sua serie di Fourier ovvero attraverso il teorema di Parseval come la sommatoria su k con k che va da – ¥ a + ¥ di | a k | ^ 2.

Si consideri l’analogia con il teorema di Rayleigh per i segnali a energia finita.

 

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