Numeri relativi

Numeri relativi (Numeri interi)

Con il termine “numeri relativi” si definisce l’unione dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, … ) e dei numeri negativi ( -1, -2, -3, …).

In modo ancora più semplice possiamo dire che i numeri relativi sono tutti i numeri naturali preceduti dal segno + , quelli preceduti dal segno – e lo zero.

L’insieme dei numeri relativi è detto anche insieme dei numeri interi.

L’insieme dei numeri relativi viene indicato con il simbolo Z ed è un insieme discreto ovvero presi due numeri successivi non è possibile individuarne nessun altro compreso tra i due.

Esempio: 

Tra -4 e -5 non esiste nessun altro numero compreso appartenente all’insieme Z.

I numeri relativi sono utili per descrivere grandezze che vengono concettualmente separate dallo zero che è l’ elemento separatore, in questo modo possiamo descrivere quantità come la temperatura, la velocità, la latitudine, la longitudine, l’altitudine, la pressione ecc.

Il risultato della somma, sottrazione e moltiplicazione di numeri relativi è ancora un numero relativo.

Esempio:

-5 +1 = -4

-5 – 1 = -6

-5 * 1 = -5

L’inverso di un numero relativo non è un numero relativo, ma appartiene all’insieme dei numeri razionali.

Esempio:

Inverso di 5 = 1/5

Inverso di -2 = -1/2

Rappresentazione e ordinamento di numeri relativi su una retta orientata

Possiamo utilizzare una retta orientata per ordinare i numeri relativi, al centro di tale retta poniamo lo zero che è l’elemento separatore e non possiede il segno.

A sinistra dello zero poniamo i numeri negativi che crescono in valore assoluto (privati del segno) spostandoci nella direzione di sinistra, mentre a destra dello zero poniamo i numeri positivi che crescono verso destra (senso positivo).

Esempio:

…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …

Esiste per ogni elemento dell’insieme dei numeri relativi un punto corrispondente sulla retta che abbiamo appena costruito, e per ogni punto sulla retta esiste un corrispondente numero relativo nell’insieme dei numeri relativi.

Questa proprietà si chiama corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti della retta e l’insieme dei numeri relativi.

L’insieme dei numeri relativi è un insieme totalmente ordinato, presi due suoi elementi possiamo sempre ordinarli su una retta.

Esempio:

-5 < -4 < -1 < 0 < 5 < 7 < 22

L’insieme dei numeri relativi non possiede né un estremo inferiore né superiore.

Esempio: 

-56654 < 0 < 56654

-56655 < -56654 < 0 < 56654 < 56655

-56656 < -56655 < -56654 < 0 < 56654 < 56655 < 56656

Definizioni dei termini concordi, discordi, opposti, uguali

Due numeri relativi sono concordi se hanno lo stesso segno.

Esempio:

-5 e -2 sono concordi
5 e 2 sono concordi

Due numeri relativi sono discordi se hanno segno diverso.

Esempio:

-5 e 2 sono discordi
 4 e -3 sono discordi

Due numeri relativi sono opposti se hanno lo stesso valore assoluto, ma segno diverso.

Esempio:

-4 e 4 sono opposti
  3 e -3 sono opposti

Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso valore e stesso segno.

Esempio:

-3 e -3 sono uguali
 2 e 2 sono uguali

Operazioni con i numeri relativi (addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenze)

Modulo o valore assoluto

Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è il numero dato privo di segno.

Addizione

Se si sommano due numeri relativi concordi il risultato sarà un numero relativo che avrà la somma dei valori assoluti dei due addendi e lo stesso segno degli addendi.

Esempio:

 (+2)  +  (+3) = +5
 (-3) + (-2) = -5

Se si sommano due  numeri relativi discordi il risultato sarà un numero relativo con il segno uguale  (concorde) all’addendo che ha il maggior valore assoluto e avrà per valore assoluto la differenza dei
valori assoluti dei due numeri.

Esempio:

(-5)  +  (+4)  = -1
(-2)  +  (+4) = +2

Se i numeri relativi sono opposti la loro somma è zero.

Esempio:

(+4) + (-4)  = 0

Note:
La somma di numeri relativi gode della proprietà commutativa (la somma di più addendi non cambia se si inverte il loro ordine), associativa (la somma di più addendi non cambia se si sostituisce a due o più di essi la loro somma) e dissociativa (la somma di più addendi non cambia se al posto di uno qualsiasi di essi se ne sostituiscono altri la cui somma sia uguale all’addendo sostituito).

Sottrazione
La sottrazione può essere vista come la somma del sottraendo (ossia della quantità che si sottrae).

Esempio:

(+5) – (+ 2) = (+5) + (-2) = +3
(-4) – (-2) = (-4) + (+2) = -2

Note:
La sottrazione gode della proprietà invariantiva ovvero se si aggiunge o sottrae ai due termini di una sottrazione uno stesso numero la differenza non cambia.

Moltiplicazione

La moltiplicazione di due numeri relativi ha per risultato un numero relativo il cui segno è determinato dall’aritmetica dei segni e ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due numeri.

L’aritmetica dei segni è definita nel seguente modo:

(+) x (+) = (+)
(-) x (-) = (+)
(+) x (-) = (-)
(-) x (+) = (-)

Esempio:

(+5) x (+2) = (+10)
(-4) x (-3) = (+12)
(-3) x (+4) = (-12)
(+5) x (-3) = (-15)

Un numero relativo moltiplicato per zero ha come risultato zero.
Note:
La moltiplicazione gode della proprietà commutativa (se si inverte l’ordine dei fattori il prodotto non cambia), della proprietà associativa (il prodotto di più fattori non cambia se ad alcuni di essi è sostituito il loro prodotto), della proprietà dissociativa (il prodotto di più fattori non cambia se a qualsiasi di essi sono sostituiti fattori che hanno come prodotto un prodotto uguale a quello sostituito), della proprietà distributiva della somma rispetto alla somma algebrica (il prodotto della somma algebrica di più numeri relativi per un numero relativo è uguale alla somma algebrica dei prodotti parziali dei singoli termini della somma per quel dato numero relativo).

Divisione

L’insieme dei numeri relativi non è chiuso sotto l’operazione di divisione ovvero il quoziente di due numeri relativi non appartiene sempre all’insieme dei numeri relativi.

Quando il risultato della divisione (quoziente) appartiene all’insieme dei numeri relativi allora la divisione di due numeri relativi ha per risultato un numero relativo il cui segno è determinato dall’aritmetica dei segni e ha come valore assoluto la divisione dei valori assoluti dei due numeri.

Esempio:  

 (+20) : (+4) = (+5)
 (+20) : (-4) = (-5)
 (-20) : (-4) = (+5)
 (-20) : (+4) = (-5)

Note:
Il quoziente tra un numero relativo e (+1) è il numero relativo stesso.
Il quoziente tra un numero relativo e (-1) è l’opposto del numero relativo.
Il quoziente tra un numero relativo e  lo zero  è zero.
La divisione gode della proprietà invariantiva (se si moltiplica o divide per uno stesso numero i due termini di una divisione il quoziente non cambia, tenendo presente che un eventuale resto è moltiplicato o diviso per quel numero), della proprietà distributiva della somma rispetto alla somma   algebrica (il quoziente della somma algebrica di più numeri relativi per un numero relativo è uguale alla somma algebrica dei quozienti parziali dei singoli termini della somma per quel dato numero relativo).

Potenze

La potenza di un numero relativo con esponente pari ha per risultato un numero relativo positivo e come valore assoluto la potenza del valore assoluto del numero dato.
La potenza di un numero relativo con esponente  dispari ha per risultato un numero relativo con il segno uguale al segno della base e come valore assoluto la potenza del valore assoluto del numero dato.

Esempio: 

(+4)2 = (+16)
(-4)2 = (+16)
(+2)3 = (+8)
(-2)3 = (-8)

Note:
Una potenza che ha come base zero ed esponente diverso da zero è uguale a zero.
Una potenza che ha come esponente 1 è uguale alla base.
Una potenza che ha come esponente zero è uguale a (+1)
Una potenza che ha come base zero ed esponente zero è una forma indeterminata.

Videolezioni su Esercizi di algebra con numeri relativi:

1 commento

  1. Stoian scrive:

    Beh, quasi benissimo , manca la moltiplicazione con più n°… e la divisione. :)

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