Testo della seconda prova 2011 Liceo Scientifico – Matematica:

Testo:

PROBLEMA 1
Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: f(x) = x3 – 4x e g(x) = sen πx

1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy , si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici Gf e Gg.
2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di Gf con la retta y = − 3. Successivamente, si considerino i punti di Gg a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [− 6; 6] e se ne indichino le coordinate.
3. Sia R la regione del piano delimitata da Gf e Gg sull’intervallo [0; 2]. Si calcoli l’area di R.
4. La regione R rappresenta la superficie libera dell’acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y la misura della profondità dell’acqua nella vasca è data da h(x) = 3 – x. Quale integrale definito dà il volume dell’acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca?

PROBLEMA 2
Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f (x) = (ax + b) 3x e− + 3 dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d’ascissa 4 e che f (0) = 2.

1. Si provi che 1=a e 1−=b.
2. Si studi su R la funzione f (x) = (x – 1) 3x e^(+3) e se ne tracci il grafico Г nel sistema di riferimento Oxy.
3. Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da Г, dall’asse y e dalla retta y = 3.
4. Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con xi l’anno di osservazione e con yi il corrispondente profitto.

Soluzione problema 2:

Punto 2.1:
Dato che f(0) = 2 si ha: b+3 = 2, dunque b= -1.
La funzione ha un massimo nel punto di ascissa x = 4, perciò si può porre la condizione che la derivata prima nel punto di massimo sia uguale a zero.
f’(x) = a e^(-x/3) + (ax + b) * (-1/3) e^(-x/3)

f’(4) = 0 allora f’(4) = ae^(-4/3) + (4a+b)(-1/3)e^(-4/3) = 0
Raccogliendo e^(-4/3) si ottiene e^(-4/3)(a-4/3 a-1/3b)
Sostituendo b=-1 si ottiene a = + 1.

Punto 2.2
F(x) = (x-1)e(-x/3) + 3
Intersezioni: asse Y dove si ha f(x) = (x-1)e(-x/3) +3 con x = 0 e y = 2
Primo punto d’intersezione (0; 2)
Asintoti: calcolando il limite di x che tende a + infinito si ottiene una forma indeterminata che semplificata conduce al limite di x che tende a + infinito pari a 3, quindi si ottiene un asintoto orizzontale y = 3.
Studio della derivata prima, si ottiene che f’(x) = e(-x/3)(-1/3x + 4/3).
Studio del segno della derivata seconda,  f”(x) = ((-e^(-x/3))/3) * (-x/3 + 7/3).
Il segno si ottiene vedendo che per f”(x)>0 si ha x > 7.
Il punto di flesso è F(7; 6e^(-7/3)+3).