Potenze

In matematica la potenza è un’operazione che associa ad una coppia di numeri a e n – detti rispettivamente base ed esponente – il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

aⁿ = a * a * a * a  (n volte)

in questo contesto aⁿ può essere un numero intero, razionale o reale mentre n è un numero intero positivo, cioè appartiene ai numeri naturali.

Le potenze scritte nella forma a si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n. L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente 3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).

Esempi:

3² = 3 * 3 si legge tre alla seconda oppure tre al quadrato
2³ = 2 * 2 * 2 si legge due alla terza oppure due al cubo
3 ⁴ = 3 * 3 * 3 * 3 si legge tre alla quarta oppure tre elevato alla quarta
½ ³ = ½ * ½ * ½ si legge un mezzo alla terza oppure un mezzo al cubo

Proprietà

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:

Moltiplicazione con base uguale

1) Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

aⁿ * a ^m = a ^n+m

Divisione con basi uguali

2) Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza tra l’esponente del dividendo e l’esponente del divisore

aⁿ / a ^m = a ^n-m

Potenza di una potenza

3) La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l’esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

(aⁿ)^m = a ^n*m = (a ^m)ⁿ

Moltiplicazione con esponenti uguali

4) Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

aⁿ * b ⁿ = (a * b)ⁿ

Divisione con esponenti uguali

5) Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

aⁿ / b ⁿ = (a/b) ⁿ

Definizione di a⁰

6) Notiamo che la definizione a⁰ = 1 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste.

Videolezioni sulle potenze:

• Esercizi sulle potenze 1
• Esercizi sulle potenze 2
• Esercizi sulle potenze 3
• Esercizi sulle potenze 4
• Esercizi sulle potenze 5
• Esercizi sulle potenze 6
• Esercizi sulle potenze 7
• Esercizi sulle potenze 8
• Esercizi sulle potenze 9
• Esercizi sulle potenze 10
• Esercizi sulle potenze 11
• Esercizi sulle potenze 12
• Esercizi sulle potenze 13
• Esercizi sulle potenze 14
• Esercizi sulle potenze 15

Definizioni che utilizzano il concetto di potenza:

• Notazione scientifica : ogni numero è scritto come prodotto di una sola cifra intera (diversa da 0) per una potenza di 10
• Ordine di grandezza di un numero : potenza di 10 a esso più vicina